O som parecido não pode enganar: “mas” e “mais” são palavras distintas em seus significados e grafias. Por isso, é importante não confundir e aprender a usá-las corretamente.

Mas

Mas é utilizada, na maioria das vezes, como uma conjunção adversativa. Ela liga duas frases que têm ideias contrárias. Pode ser substituída pelos sinônimos porém, contudo, todavia, no entanto. A palavra também pode ser usada como um advérbio para dar ênfase a uma informação.

Exemplo: Estudei todo o conteúdo, mas mesmo assim fui mal na prova.
                Ele é tão teimoso, mas tão teimoso, que não quis parar de brincar após se machucar.

Mais

A palavra mais é utilizada principalmente como advérbio de intensidade. Para saber se o uso está correto, é possível substituir pelo seu antônimo: menos. Ela indica a adição de algo ou o aumento.

Exemplo: Está cada dia mais difícil manter a concentração.
                Preciso morar mais perto do trabalho.